OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA
 
 

Fase local 2000
 
 

Primera sesión






1.- Considérese la sucesión definida como  a1 = 3,  y  an+1 = an + an2.  Determínense las dos últimas cifras de a2000.
 


2.- Sea  P  un punto del lado  BC  de un triángulo  ABC.  La paralela por  P  a  AB  corta al lado  AC  en el punto  Q y la paralela por  P  a  AC  corta al lado  AB  en el punto  R.  La razón entre las áreas de los triángulos  RBP  y  QPC  es  k2.
Determínese la razón entre las áreas de los triángulos  ARQ  y  ABC.


3.- ¿Cuántos números, comprendidos entre  1.000  y  9.999,  verifican que la suma de sus cuatro dígitos es mayor o igual que el producto de los mismos?. ¿Para cuántos de ellos se verifica la igualdad?

Segunda sesión

4.- Se consideran las funciones reales de variable real  f(x)  de la forma:  f(x) = ax + b, siendo  a  y  b  números reales.
¿Para qué valores de  a  y  b  se verifica  f2000(x) = x para todo número real  x.

[Nota: Se define  f2(x) = f(f(x)),  f3(x) = f(f(f(x))),   y en general,
fn(x) = f(fn-1(x)) = f(f(...f(x))...))   n veces]
 


5.- En la orilla de un río de 100 metros de ancho está situada una planta eléctrica y en la orilla opuesta, y a 500 metros río arriba, se está construyendo una fábrica. Sabiendo que el río es rectilíneo entre la planta y la fábrica, que el tendido de cables a lo largo de la orilla cuesta a  9 €  cada metro y que el tendido de cables sobre el agua cuesta a 15 €  cada metro, ¿cuál es la longitud del tendido más económico posible entre la planta eléctrica y la fábrica?.


6.- Se sabe que el polinomio  p(x) = x3 x + k  tiene tres raíces que son números enteros. Determínese el número  k.
 
 


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Actualizado 07 Abril 2000