Fase local 2002
Viernes 18 de enero de 2002
Sesión de Mañana
1. Si p es un número
real y las raíces de x3 + 2px2
- px + 10 = 0 están en progresión aritmética,
halla dichas raíces.
2. En el triángulo ABC, la bisectriz trazada desde A divide al lado opuesto en dos segmentos, de los que conocemos uno: BT = 572 m. Si dicha bisectriz corta a la mediana BM en los segmentos BD = 200 m y DM = 350 m, calcula el lado a de dicho triángulo y plantea una ecuación con incógnita c para obtener el lado c (no hace falta que lo calcules explícitamente).
3. Encuentra todos
los enteros positivos m y n tales que n! + 1 = (m!
- 1)2.
Viernes 18 de enero de 2002
Sesión de Tarde
4. En un equipo de
fútbol tenemos 11 jugadores, cuyas camisetas están numeradas
del 1 al 11. Elegimos al azar 6 de ellos. ¿Cuál es la probabilidad
de que la suma de los números de sus camisetas sea impar?
5. La suma de las edades de los 120 estudiantes que participaron el año pasado en la fase final de la Olimpiada Matemática fue de 2002 años. Demuestra que podrías haber elegido 3 de ellos tales que la suma de sus edades no fuera menor de 51 años.
6. Escribo en la pizarra 14 números enteros, no necesariamente distintos, que verifican la propiedad de que al borrar cualquiera de ellos, puedo agrupar los trece restantes en tres montones de igual suma.
a) Demuestra que cada uno de los catorce es múltiplo de 3.
b) ¿Es posible que alguno de los catorce que he escrito no sea el 0?
Sábado 19 de enero de 2002
Sesión de Mañana
7. En el triángulo
acutángulo ABC, AH, AD y AM son, respectivamente,
la altura, la bisectriz y la mediana que parten desde A, estando
H,
D y M en el lado BC. Si las longitudes de
AB,
AC y MD son, respectivamente, 11, 8 y 1, calcula la longitud
del segmento DH.
8. Se sabe que el número de soluciones reales del sistema
(y2 + 6)(x -1) = y (x2 + 1)
(x2 + 6)(y -1) = x (y2 + 1)
es finito. Prueba que este sistema tiene un número par de soluciones
reales.
(Nota: Decimos que la solución (x0, y0)
es real cuando x0 e y0 son números reales)
9. Considera
7 puntos arbitrarios del plano y los 21 segmentos que los conectan entre
sí. Demuestra que al menos 3 de estos 21 segmentos son de distinta
longitud.
Soluciones en formato Microsoft Word 2000 comprimido .zip (31 Kb)
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Actualizado 27 Enero 2002