Fase local 2003
Viernes 17 de enero de 2003
Sesión de Mañana
1. ¿Cuántas ternas ordenadas de números enteros y positivos (a, b, c) distintos de la unidad hay tales que
a.b.c = 739 ?
2. Dibuja una semicircunferencia
con centro en O y diámetro AB y, en su interior, otra, con diámetro
OA. Traza por un punto C de OA una recta perpendicular a dicho segmento
OA, que cortará a la semicircunferencia pequeña en D y a
la grande en E y, finalmente, la recta AD que cortará al semicírculo
grande en F.
Demuestra que la circunferencia circunscrita al triángulo
DEF es tangente a la cuerda AE en E
3. ¿Cuál
es el número máximo de vértices que podemos elegir
de un polígono regular de 21 lados para que, al trazar los
segmentos que los unen entre sí, no haya dos con la misma longitud?
Viernes 17 de enero de 2003
Sesión de Tarde
4. Determina los dos
valores de x más próximos (por defecto y por exceso)
a 2003º que cumplen la siguiente ecuación
trigonométrica:
5. Un cuadrado de papel
ABCD se dobla de modo que el vértice A toque en un punto arbitrario
E del lado CD. Así, se obtienen tres triángulos rectos formados
por una sola capa de papel.
Determinar la longitud de sus lados en función
de x = DE para demostrar que el perímetro del triángulo
mayor es la suma de los perímetros de los otros dos, y vale la mitad
que el perímetro del cuadrado. (Teorema de Haga) .
6. Dado el polinomio p(x) = x3 + Bx2 + Cx + D, prueba que si el cuadrado de una de sus raíces es igual al producto de las otras dos, entonces B3D = C3.
Sábado 18 de enero de 2003
Sesión de Mañana
1. Se dispone de pequeñas
piezas de madera de tamaño 4 x 5 x 10. Decide si es posible o no
apilarlas, sin dejar huecos y
apoyándolas siempre sobre cualquiera de sus caras, para formar
un ortoedro de dimensiones 22003 x 32003 x 52003.
2. Dado un triángulo
de vértices A, B y C,y con lados de longitud a
= BC, b = AC y c = AB, llamemos D al punto de
intersección del lado AB con la bisectriz del ángulo
C.
Demuestra que:
3. ¿Existirán
16 números naturales distintos y menores de 100 tales que al colocarlos
en las casillas de un tablero 4 x 4 el
producto de los situados en cada fila sea el mismo y, a su vez, coincida
con el de los colocados en cada columna y en las dos
diagonales principales.?
Si la respuesta es afirmativa, indica cuáles son.
Si la respuesta es negativa, justifícalo.
Sábado 18 de enero de 2003
Sesión de tarde
4. Prueba que si los números loga x, logb x y logc x (con x distinto de 1) están en progresión aritmética, entonces
6. Por turno, en orden
alfabético, tres amigos lanzan un dado. Quien saque un 6 en primer
lugar gana lo apostado.
Por cada euro que apueste Carlos, ¿qué cantidad han de
poner Ana y Blas para equilibrar el juego y lograr que sea equitativo,
es decir, para que las expectativas de ganancia sean las mismas para los
tres colegas y no se vean afectadas por el orden de actuación al
lanzar el dado?
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Actualizado 26 Enero 2003