XXXVI Olimpiada Matemática Española
Fase nacional 2000 (Palma de Mallorca)
Primera sesión
1.- Sean los polinomios:
Halla las condiciones que deben cumplir los parámetros reales
a, b y c (a distinto de c) para que P(x) y Q(x) tengan dos raíces
comunes y resuelve en ese caso las ecuaciones P(x) = 0; Q(x)
= 0.
2.- La figura muestra un plano con calles que delimitan 12 manzanas cuadradas.
3.- Dos circunferencias
secantes C1 y C2 de radios r1 y r2
se cortan en los puntos A y B.
Por B se traza una recta variable que corta de nuevo a C1
y C2 en dos puntos que llamaremos Pr y Qr
respectivamente.
Demuestra la siguiente propiedad: Existe un punto M, que depende
sólo de C1 y C2, tal que la mediatriz del
segmento PrQr pasa por M.
Segunda sesión
4.- Encuentra el mayor
número entero N que cumpla las siguientes condiciones :
a) tiene
sus tres cifras iguales.
b) es
suma de números naturales consecutivos comenzando en 1, es decir,
existe un natural n tal que:
5.- Tomemos cuatro puntos situados en el interior o el borde de un cuadrado de lado 1. Demuestra que al menos dos de ellos están a distancia menor o igual que 1.
6.- Demuestra que no
existe ninguna función
que cumpla: f(f(n)) = n + 1.
No está permitido el uso de calculadoras.
Cada problema se puntúa sobre 7 puntos.
El tiempo de cada sesión es de 4 horas.
Medallas de oro
Carlos Gómez Rodríguez
Luis Emilio García Martínez
Alberto Suárez Real
José María Cantarero López
Manuel Pérez Molina
Roberto Rubio Núñez
Medallas de plata
Fernando Cruz Robledillo
Xavier Martínez Palau
Carlos González Guillén
Carlos Marcelino Casas Cuadrado
Carlos García Fernández
Juanjo Rué Perna
José Doval González
Santiago Molina Blanco
Francisco Javier Ortiz Barranco
Jordi Rius Pascual
Alfredo Lafuente Laguna
Enoc Altabás Felipo
Medallas de bronce
Jesús Pascual Moreno Damas
Carlos Vinuesa del Rio
Ignacio García Marco
Juan Alemany Flos
Sergio Leal Alcubilla
Guillermo Heras Prieto
Alberto Llorente Mediavilla
Germán Sanchís Trilles
Miquel Oliu Barton
Rubén Bautista Tapias
Alfonso Cabrera Salinas
José Manuel Hernández García
Stephane Lesaffre
Roberto Alonso Pérez
Indalecio Carbonell Pascual
Gaspar Fernández Domínguez
Eduardo Eisman Cabeza
Dacio Sánchez Iglesias
Breve estudio de los resultados
Los problemas se calificaron sobre 7 puntos, Las medias y desviaciones de cada problema fueron:
|
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|
|
|
|
Medias |
2,57
|
3,14
|
1,66
|
3,95
|
1,34
|
1,37
|
Desviaciones |
2,576
|
2,846
|
1,535
|
2,466
|
1,325
|
1,889
|
El gráfico siguiente muestra las frecuencias de notas para cada problema.
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Actualizado 07 Abril 2000