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OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA

XXXVII Olimpiada Matemática Española
Fase nacional 2001 (Murcia)
Primera sesión

1.- Probar que la gráfica del polinomio P(x) es simétrica respecto del punto A(a, b) si y sólo si existe un polinomio Q(x) tal que: P(x) = b + (x -a)Q((x-a)²)

2.- Sea P un punto en el interior del triángulo ABC, de modo que el triángulo ABP verifica:

AP =BP

Sobre cada uno de los otros dos lados de ABC se construyen exteriormente triángulos BQC y CRA, ambos semejantes al triángulo ABP cumpliendo:

BQ = QC y CR = RA

Probar que los puntos P, Q, C y R o están alineados o son los vértices de un paralelogramo.

3.- Se tienen cinco segmentos de longitudes a₁, a₂, a₃, a₄ y a₅ tales que con tres cualesquiera de ellos es posible construir un triángulo.

Demostrar que al menos uno de esos triángulos tiene todos sus ángulos agudos.

Segunda sesión

4.- Los números enteros desde 1 hasta 9 se distribuyen en las casillas de una tabla 3x3.

Después se suman seis números de tres cifras: los tres que se leen en filas de izquierda a derecha y los tres que se leen en columnas de arriba abajo.

¿Hay alguna distribución para la cual el valor de esa suma sea 2001?

5.- ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de radio 1 de modo que AB es un diámetro y el cuadrilátero admite circunferencia inscrita.

Probar que:

6.- Determinar la función f : N ® N (siendo N = {1,2,3,...} el conjunto de los números naturales) que cumple, para cualesquiera s, n Î N, las siguientes condiciones:

f (1) = f (2^s) = 1 y si n < 2^s, entonces f (2^s + n) = f (n) + 1.

Calcular el valor máximo de f (n) cuando n£ 2001.

Hallar el menor número natural n tal que f (n) = 2001.

No está permitido el uso de calculadoras.
Cada problema se puntúa sobre 7 puntos.
El tiempo de cada sesión es de 3,5 horas.

Soluciones en formato Microsoft Word 97 (Comprimido .zip, 39 Kb)

Soluciones manuscritas de algunos participantes

Ganadores de la Olimpiada

Medallas de oro

Javier Coppola Rodriguez
Marti Prats Soler
Luis Hernandez Corbato
Sergio Millan Lopez
Ignacio Cascudo Pueyo
Miquel Oliu Barton

Medallas de plata

Joaquim Cevallos Morales
Miguel Angel Adan Alonso
Ignacio Cruz Caridad
Jose Navarro Garmendia
Jose Doval González
Christian Busquiel Sanz
Carlos Barragan Del Rey
Francesc Fite Naya
Emilio González Conchan
Fernando Cruz Robledillo
David López Mateos
Carlos Lorenzo Riesco

Medallas de bronce

Roc Maymo Camps
María Saumell Mendiola
Francisco Javier Del Río Blay
Carlos Fernández Naveira
Susana Ladra González
José Miguel Manzano Prego
José Capilla Osorio
Luis Muñoz González
Noelia Sanz Valtueña
Ricardo Barrionuevo Ordóñez
Alberto Otero De La Roza
Pablo Chico De Guzmán Huerta
Carlos Fadon Perlines
Tomás Lloret Llinares
Enrique Gambra Urbalburu
Leonardo De Maeztu Reinares
Enrique Jaime Fernández Sánchez
Fernando Viñuales Bueno

Breve estudio de los resultados

Los problemas se calificaron sobre 7 puntos, Las medias y desviaciones de cada problema fueron:

	P1	P2	P3	P4	P5	P6
Medias	0,39	2,33	1,3	2,58	0,29	1,34
Desviaciones	1,039	1,819	2,267	2,362	1,145	2,085

El gráfico siguiente muestra las frecuencias de notas para cada problema.