Primera sesión

XXXIX Olimpiada Matemática Española
Fase nacional 2003 (Canarias)
Primera sesión (3 de marzo)

1.- Probar que para cualquier primo p distinto de 2 y 5 existe un múltiplo de p cuyas cifras son todas nueves. Por ejemplo si p = 13, 999999 = 13·76923

2.-¿Existe algún conjunto finito de números reales M que contenga al menos dos elementos distintos y que cumpla la propiedad de que para dos números a, b cualesquiera de M, el número 2a - b² sea también un elemento de M?

3.- Las alturas del triángulo ABC se cortan en el punto H. Se sabe que AB = CH. Determinar el valor del ángulo BCA

Segunda sesión (4 de marzo)

4.-Sea x un número real tal que x³ + 2x² +10x = 20. Demostrar que tanto x como x² son irracionales.

5.- ¿Cuáles son las posibles áreas de un hexágono con todos los ángulos iguales y cuyos lados miden 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en algún orden?

6.- Ensartamos 2n bolas blancas y 2n bolas negras formando una cadena abierta. Demuestra que, se haga en el orden que se haga, siempre es posible cortar un segmento de cadena exactamente con n bolas blancas y n bolas negras.

No está permitido el uso de calculadoras.
Cada problema se puntúa sobre 7 puntos.
El tiempo de cada sesión es de 3,5 horas.

Soluciones en formato Microsoft Word 2000 (Comprimido .zip, 25 Kb)

Ganadores de la Olimpiada

Medallas de oro

Daniel Rodrigo López
Luis Hernández Corbato
Mohamed Blanca Ruiz
Víctor González Alonso
Javier Gómez Serrano
Maite Peña Alcaraz

Medallas de plata

Xavier Roca Artola
Ibon Arregui Bilbao
Antonio Sánchez Puente
Martín Cladera Pozuelo
Javier Alonso Mora
Serafín Ruiz Cabello
Matías Javier Wartelski Pryluka
David Morales Hidalgo
Emilio Alba Linero
Miguel Domínguez Vázquez
Carlos Alonso Prieto
Arnau Padrol Sureda

Medallas de bronce

Alejandro Cruz Robledillo
Esteban Alcántara Cárdenas
Mikel Arizaleta Delshorts
Juan José Omiste Romero
Francisco Manuel Canto Martín
Roberto de la Cruz Moreno
Francisco Javier Hernández Heras
Daniel de la Barrera Mayoral
Carles Solano Molins
Carles Sala Cladellas
Carlos Zomeño Canales
Alfonso Zamora Saiz
David Puertas Centeno
Joan Antoni Cabrer Rubert
Baldomero Coll Perales
Víctor García Fernández
Alejandro Redondo Moral
Luis Sánchez Lajusticia

Breve estudio de los resultados

Los problemas se calificaron sobre 7 puntos, Las medias y desviaciones de cada problema fueron:

	P1	P2	P3	P4	P5	P6
Medias	0,91	0,46	1,72	0,77	1,19	1,14
Desviaciones	1,98	1,29	1,91	1,08	2,01	2,09