Primera sesión

XLIII Olimpiada Matemática Española
Fase nacional 2007 (Torrelodones)

Primera sesión (23 de marzo)

1.- Sean cinco números positivos en progresión aritmética de diferencia d. Probar que

2.- Determinar todos los posibles valores enteros no negativos que puede tomar la expresión

siendo y enteros no negativos tales que

3.- Sea O el circuncentro de un triángulo ABC. La bisectriz que parte de A corta al lado opuesto en P.

Probar que se cumple:

Segunda sesión (24 de marzo)

4.- ¿Cuáles son los números enteros positivos que se pueden obtener de exactamente 2007 maneras distintas, como la suma de al menos dos números enteros positivos consecutivos? ¿Cuál es el menor de todos ellos?

Ejemplo: el número 9 se escribe exactamente de dos maneras distintas:

9 = 4 + 5

9 = 2 + 3 + 4

5.- Sea un número real positivo y un entero mayor que 1. Demostrar que

6.- Dada una semicircunferencia de diámetro AB = 2R, se considera una cuerda CD de longitud fija c. Sea E la intersección de AC con BD y F la intersección de AD con BC.

Probar que el segmento EF tiene longitud constante y dirección constante al variar la cuerda CD sobre la semicircunferencia.

No está permitido el uso de calculadoras.
Cada problema se puntúa sobre 7 puntos.
El tiempo de cada sesión es de 3,5 horas.

Soluciones en formato Microsoft Word 2000 (Comprimido .zip, 83 Kb)

Ganadores de la Olimpiada

Medallas de oro

Diego Izquierdo Arseguet (*)

Adrián Rodrigo Escudero (*)

Daniel Remón Rodríguez

Gabriel Fürstenheim Milerud

David Alfaya Sánchez

Glenier Lázaro Bello Burguet

(*) Las dos primeras medallas de oro tienen exactamente la misma puntuación.

Medallas de plata

Albert Santiago Boíl

Bernat Serra Montolí

Alejandro Gimeno Sanz

Arnau Messegué Buisan

José Ramón Sierra Gómez de León

Andrés Rodríguez Reina

Álvaro Mateos González

Josep Marc Mingot Hidalgo

Carlos Sánchez Ramírez

Daniel de la Concepción Sáez

David Garcés Urzainqui

Adrián Moro Calderón

Medallas de bronce

Zhin Lin

Bartomeu Montserrat Sánchez

Javier Bolea Moll

Paloma Arenas Guerrero

Santiago Ruiz - Valdepeñas

Alberto Calderón González

Manuel López Sheriff

Antonio Pérez Hernández

Adrián Rey Rodríguez

Teresa Rodrigo Rey

Alberto Sánchez Molero

Carlos Corrales Benítez

José Luis Lado Villanueva

Eloi Marín Amat

Víctor Rodríguez Rodríguez

Francisco Salamanca González

Fernando Sánchez Madrigal

David Tena Cucal

Breve estudio de los resultados

Los problemas se calificaron sobre 7 puntos, Las medias y desviaciones de cada problema fueron:

	P1	P2	P3	P4	P5	P6
Medias	5.43	0.53	1.17	0.27	1.58	1.59
Desviaciones	2.27	0.52	2.05	0.59	1.74	2.30