OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA

Fase nacional 1995 (Castellón)

Primera sesión

1.- Se consideran conjuntos A de cien números naturales distintos, que tengan la propiedad de que si a, b y c son elementos cualesquiera de A (iguales o distintos), existe un triángulo no obtusángulo cuyos lados miden a, b y c unidades.
Se denomina S(A) a la suma de los perímetros considerados en la definición de A. Calcula el valor mínimo de S(A)


2.- Recortamos varios círculos de papel (no necesariamente iguales) y los extendemos sobre una mesa de modo que haya algunos solapados (con parte interior común), pero de tal forma que no haya ningún círculo dentro de otro.
Prueba que es imposible ensamblar las piezas que resultan de recortar las partes no solapadas y componer con ellas círculos distintos.


3.- Por el baricentro G de un triángulo ABC se traza una recta que corta al lado AB en P y al lado AC en Q. Demuestra que:


Segunda sesión

4.- Siendo p un número primo, halla las soluciones enteras de la ecuación:

p.(x + y) = x.y


5.- Demuestra que en el caso de que las ecuaciones:

x3 + mx - n = 0

nx3 - 2 m2 x2 - 5mnx - 2m3 - n2 = 0 (n no nulo)

tengan una raíz común, la primera tendrá dos raíces iguales y determina entonces las raíces de las dos ecuaciones en función de n.



Pág. Web

6.- En la figura, AB es un segmento fijo y C un punto variable dentro de él. Se construyen triángulos equiláteros de lados AC y CB, ACB' y CBA' en el mismo semiplano definido por AB, y otro de lado AB, ABC' en el semiplano opuesto. Demuestra:

a) Las rectas AA', BB' y CC' son concurrentes.

b) Si llamamos P al punto común a las tres rectas del apartado a), hallar el lugar geométrico de P cuando C varía en el segmento AB.

c) Los centros A'', B'' y C'' de los tres triángulos forman un triángulo equilátero.

d) Los puntos A'', B'', C'' y P están sobre una circunferencia.


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Actualizado 15 Junio 1997