OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA 
XXXIII Olimpiada Matemática Española
Fase nacional 1997 (Valencia)
Primera sesión

1.- Calcular la suma de los cuadrados de los cien primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que la suma de ellos vale -1, y que la suma de los términos de lugar par vale +1.

2.- Un cuadrado de lado 5 se divide en 25 cuadrados unidad por rectas paralelas a los lados. Sea A el conjunto de los 16 puntos interiores, que son vértices de los cuadrados unidad, pero que no están en los lados del cuadrado inicial.

¿Cuál es el mayor número de puntos de A que es posible elegir de manera que TRES cualesquiera de ellos NO sean vértices de un triángulo rectángulo isósceles?.

3.- Se consideran las parábolas y = x² + px + q que cortan a los ejes de coordenadas en tres puntos distintos por los que se traza una circunferencia. Demostrar que todas las circunferencias trazadas al variar p y q en R pasan por un punto fijo que se determinará.

4.- Sea p un número primo. Determinar todos los enteros  tales que  es natural.

5.- Demostrar que en un cuadrilátero convexo de área unidad, la suma de las longitudes de todos los lados y diagonales no es menor que .

6.- Un coche tiene que dar una vuelta a un circuito circular. En el circuito hay n depósitos con cierta cantidad de gasolina. Entre todos los depósitos contienen la cantidad exacta que el coche necesita para dar una vuelta. El coche comienza con el depósito vacío. Demostrar que con independencia del número, posición y cantidad de combustible de cada depósito, siempre se puede elegir un punto de comienzo que le permita completar la vuelta.

Notas: a) El consumo es uniforme y proporcional a la distancia recorrida. b) El tamaño del depósito es suficiente para albergar toda la gasolina necesaria para dar una vuelta.