OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA

XXXV Olimpiada Matemática Española
Fase nacional 1999 (Granada)
Primera sesión


1.- Las rectas t y t, tangentes a la parábola de ecuación y = x2 en los puntos A y B, se cortan en el punto C.
La mediana del triángulo ABC correspondiente al vértice C tiene longitud m.
Determinar el área del triángulo ABC en función de m.


2.- Probar que existe una sucesión de enteros positivos a1, a2,, an, tal que

a12 + a22 +.+ an2

es un cuadrado perfecto para todo entero positivo n.



 

3.- Sobre un tablero en forma de triángulo equilátero como se indica en la figura; se juega un solitario.
Sobre cada casilla se coloca una ficha. Cada ficha es blanca por un lado, y negra por el otro. Inicialmente, sólo una ficha, que está situada en un vértice, tiene la cara negra hacia arriba; el resto de las fichas tiene la cara blanca hacia arriba. En cada movimiento se retira sólo una ficha negra del tablero y se da la vuelta a cada una de las fichas que ocupan una casilla vecina. Casillas vecinas son las que están unidas por un segmento.
Después de varios movimientos ¿será posible quitar todas las fichas del tablero?

Segunda sesión

4.-. Una caja contiene 900 tarjetas, numeradas del 100 al 999. Se sacan al azar (sin reposición) tarjetas de la caja y se anota la suma de los dígitos de cada tarjeta extraída. ¿Cuál es la menor cantidad de tarjetas que se deben sacar, para garantizar que al menos tres de esas sumas sean iguales?


5.- El baricentro del triángulo ABC es G. Denotamos por las distancias desde G a los lados a, b y c respectivamente.
Sea el radio de la circunferencia inscrita. Probar que

:i) 
ii) 


6.- Se divide el plano en un número finito de regiones N mediante tres familias de rectas paralelas. No hay tres rectas que pasen por un mismo punto.

¿Cuál es el mínimo número de rectas necesarias para que N>1999?
 

No está permitido el uso de calculadoras.
Cada problema se puntúa sobre 7 puntos.
El tiempo para esta sesión es de 4 horas.


Soluciones en formato Microsoft Word 97 (Comprimido .zip, 222Kb)


Ganadores de la Olimpiada
Medallas de oro
Aliaga Varea, Ramón José
Tallos Tanarro, Andrés
Vallejo Gutiérrez, Enrique
Navarro Tobar, Álvaro
Múgica de Rivera, Javier
Sancho Bejerano, Néstor


Medallas de plata
Nájera Cano, Fernando Pedro
Mira Castelló, Pablo José
Masa Bote, Daniel
Mora Portela, Darío
Domingo Mas, Carlos
Jiménez Chapestro, Eduardo
García Martínez, Luis Emilio
Fernández-Alonso López, Ramiro
Ibeas Martín, Álvar
Barreda Moriana, Roberto Carlos
Altabás Felipo, Enoc
González Pellicer, Edgar


Medallas de bronce
Molera Vidal, Joaquim
Suárez Real, Alberto
Doval González, José
Lázaro Gredilla, Miguel
Arias de Reyna Domínguez, Sara
Pérez Molina, Manuel
Torres Ramírez, Francisco Javier
Pe Pereira, María
Martín Martínez, Domènec
Molina Blanco, Santiago
Rey Zapatero, Marco del
Toledo Delgado, Pedro Antonio
Antolín Pichel, Yago
Menal Ferrer, Pere
Moreno Damas, Jesús Pascual
Zhan, Kang Da
Álvarez Gama, Javier
Ciruelos de Ascanio, Héctor
También se acuerda conceder una mención honorífica a Ramón José Aliaga Varea de Valencia por la calidad de su solución al problema número 5.
Breve estudio de los resultados

Los problemas se calificaron sobre 7 puntos, Las medias y desviaciones de cada problema fueron:


P1
P2
P3
P4
P5
P6
Medias
2,44
1,09
1,91
4,86
0,52
1,52
Desviaciones
2,648
2,067
2,155
2,85
1,242
2,151

El gráfico siguiente muestra las frecuencias de notas para cada problema.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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Actualizado 22 Marzo 1999